（代数学基本定理）任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。美国数学家John Willard Milnor在数学名着《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。的一个根，这个论证具有高度的创造性，但从现代的标准看依然是不严格的，因为他依靠了曲线的图形，证明它们必然相交，而这些图形是比较复杂，正中隐含了很多需要验证的拓扑结论等等。
中文名代数基本定理
fundamental theorem of algebra
洛特
分类
数学
高斯
最小模方法
这一方法是阿尔冈使用的方法.它是纯粹实分析的,没有使用复变函数论,而只用到了复数的四则运算和开根运算。
设是复系数次多项式.不妨假定不是它的零点.显然函数在全复平面上下有界.通过三角不等式容易得出:当充分大时一定有
于是当趋于无穷时趋于无穷.故|一定在某点达到它的下确界;这是证明中第一次使用实数域的完备性.可以重写多项式为
如果,那么设的幅角为,并命构造复数是证明中第二次使用实数域的完备性.于是当充分小时就有:
矛盾.于是必然有
定理推广
设为d维连续局部鞍，为自然数，平方变差过程交互变差过程.若令.则过程为d维Brown运动。
定理意义
有时这个定理表述为：任何一个非零的一元次复系数多项式，都正好有n个复数根。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有个根。[2]
尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。
参考资料1.·
2.·
